Suite arithmético-géométrique \((u_n)_{n\in\Bbb N}\)
Suite vérifiant la relation de récurrence : $$\forall n\in{\Bbb N},\quad u_{n+1}=au_n+b$$

• terme général : $$\forall n\in{\Bbb N},\quad u_n=a^n(u_0-r)+r\quad\text{ avec }\quad r:=\frac b{1-a}$$
• convergence :
    
• si \(\lvert a\rvert\lt 1\), alors \(u_n{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow} r\) peu importe \(u_0\) (propriété très utile dans une Chaîne de Markov, pour montrer que la chaîne converge vers une chaîne stationnaire)

Exercices

Il faut montrer que l'ensemble sur lequel on travaille est un compact (dans \({\Bbb R}^n\) \(\to\) fermé borné) et que \(f\) est continue pour utiliser le Critère de Bolzano-Weierstrass.

Calculer les gradients de \(f\) et \(h\).

Théorème des extrémas liés + résolution.

On a un minimum, ce qui montre l'inégalité voulue.